最新一朋友在做比特币矿池方向的创业，受邀请帮忙研究下运营矿池的破产概率问题，以尽可能地规避风险。下面会将相应的一些概念与问题一一道来。
1.泊松分布与挖矿问题
- 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
- 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
- 泊松分布的期望和方差均为λt.
1.1 问题
比特币挖矿的数目服从泊松分布。
这是为什么？且细细看来。
-
1.btc挖矿机的一次计算是否产生一个合法区块可以认为是一个随机事件，任何所有的计算hash彼此相互独立。
-
2.每次hash计算有对应的计算难度，标为D，决定着发现一个合法块的难度。
-
3.每次hash计算(32位hash计算，共有1/2^32个hash值)都会有 $ \frac{1}{2^{32}D} $的概率产生一个合法区块。
-
4.矿工的算力(hashrate:每秒计算hash的次数)：h
ok，这个问题可以化简为：
t时间内，该算力的矿工可以挖到多少btc区块？它服从什么分布？
1.2 解释
ok，很明显，速率问题，泊松分布.
速率λ（即：每秒能挖到多少个区块）为：$ \lambda=\frac{h}{2^{32}D} $
- 单人在t时间内挖到的区块数目期望：$ E(X)=\lambda t=\frac{ht}{2^{32}D} $
- 单人在t时间内挖到的区块数目方差：$ D(X)=\lambda t=\frac{ht}{2^{32}D} $
另外，还有一个条件：即一个合法区块对应着B个btc。换算成btc的话，这一个常数项的线性变换，即是一个POI(BX)的问题.
根据期望和方差的性质：
- C为常数，X为随机变量
- 期望性质：$ E(CX)=CE(X) $
- 方差性质：$ D(CX)=C^{2}D(X), D(X+C)=D(X) $
从而，我们得到：
单人在t时间内对应回报的期望为：$ E(BX)=BE(X)=\frac{htB}{2^{32}D} $
单人在t时间内对应回报的方差为：$ D(BX)=B^{2}D(X)=\frac{htB^{2}}{2^{32}D} $
单人在t时间内对应回报的标准差为： $ \sigma(BX)=\sqrt{D(BX)}=\sqrt{\frac{htB^{2}}{2^{32}D} $
单人在t时间内对应回报的标准差/期望（标准差是期望的多少倍）为： $ \frac{\sigma(BX)}{E(BX)}=\sqrt{\frac{2^{32}D}{ht}} $
1.3 进一步
矿池挖矿模式与单人solo挖矿模式略有不同：
- 1.它集合了矿池内所有矿工的算力：其hashrate为：H
矿池将在周期t内获得的区块数同样服从泊松分布(为做区分，此处为随机变量Y)。修改一下算力，得到相应的期望/方差：
矿池将在周期t内获得的区块数期望：$ E(Y)=\frac{Ht}{2^{32}D} $
矿池将在周期t内获得的区块数方差：$ D(Y)=\frac{Ht}{2^{32}D} $
将区块数换算成btc，对应的期望/方差：
矿池在周期t内获得的btc期望：$ E(BY)=\frac{HtB}{2^{32}D} $
矿池在周期t内获得的btc方差：$ D(BY)=B^2D(Y)=\frac{HtB^2}{2^{32}D} $
那么在矿池中，单个矿工的收益又是肿么样的一个期望/方差呢？
这里又有另外一项变换：单个矿工的hashrate为：h=qH（其中：q是该矿工对该矿池中总算力的贡献，0<q<1）
根据期望/方差性质，再做一次换算：
在矿池中，个人在周期t内获得的btc期望: $ E(X)=E(qBY)=qE(BY)=\frac{qHtB}{2^{32}D}=\frac{htB}{2^{32}D} $，该值与solo模式一样
在矿池中，个人在周期t内获得的btc方差：$ D(X)=D(qBY)=q^{2}D(BY)=\frac{q^{2}HtB^2}{2^{32}D}=\frac{qhtB^2}{2^{32}D} $，是solo模式的q倍。（0<q<1，因而方差变小，风险也变小了）
2.矿池如何实现收支平衡？
2.1 一般的矿池
矿池通常由一个矿池运营者（pool operator）来维护，它会在相应的服务上花费一定的费用。这通常是区块回报的一个固定百分比：f。因此，对于每个发现的区块，operator都将收到一笔fB的费用，余下的(1-f)B将分配给矿工。
再做一次变换，利用期望/方差的性质：
矿池中，单个矿工获得的的实际btc收入的期望为：$ E(X)=E((1-f)qBY)=(1-f)E(qBY)=\frac{(1-f)htB}{2^{32}D} $，与solo模式略有下降（但其实个人挖一样需要支付电费等问题存在）
矿池中，单个矿工获得的的实际btc收入的方差为： $ D(X)=D((1-f)qBY)=(1-f)^{2}D(qBY)=(1-f)^{2}q\frac{htB^2}{2^{32}D} $，是solo模式的(1-f)^2q倍. 方差更小。
2.2 变态的矿池
PPS矿池就是这样。
只要挖，不管有没挖到，在周期t时间里，矿工都会有收入。
在矿池中，单个矿工的收入的方差为0。operator承担所有的方差，风险更大，因而需要对operator再做一定的补偿。如果operator不正确平衡矿池的费用以及他的财产准备金，矿池有很大可能会破产。
这里有两个问题：
- 补偿方式有变化？
- 在有限资源的情况下，准备金至少需要多少，才能让破产机率更低？
先回到原先讲的：
- 1.矿池中每次hash计算成为一个share的概率：$ \frac{1}{2^{32}} $
- 2.每个share成为合法区块都有一个概率：$ p=\frac{1}{D} $
- 3.矿工在每次提交一个share时将平均接收到的回报：pB
- 4.对于operator则收到的费用: $ (1-f)pB $
2.2.1 推导阶段一
如何分配它？
这里，每次提交share可以当成一个step。在这个周期t内，计算出来的share本身有两个状态：合法（可得到btc）、非法（无效计算，得不到btc）。合法的概率为p，非法的概率为：1-p。
如果合法，则获得B个btc。然后拿出(1-f)pB进行分配给矿工，剩余的归operator自己。如果非法，那就没有收入了，但仍要拿出(1-f)pB进行分配给矿工。这是一个典型的连续时间随机过程，可以用马尔可夫链来表示。一个周期间，operator所得到的收入（包括损失）：
$ X_{t+1}-X_{t}={ \begin{aligned} &-(1-f)pB+B & w.p. & & p \ &-(1-f)pB & w.p. & & 1-p \end{aligned} $$
它的期望为：
\[\begin{aligned} E & = (-(1-f)pB+B)*p + (-(1-f)pB)*(1-p) \\ & = -p(1-f)pB+pB + (p-1)(1-f)pB \\ & = -(1-f)pB + pB \\ & = fpB\end{aligned}\]同理使用方差计算公式可得，真实的方差为：$ p(1-p)B^{2} $ ，而btc矿池paper将它近似认为：$ pB^{2} $，这里有些疑问（只有当p的概率较大时，才有可能近似）。
根据中心极限定理可知（这一步有待进一步求证），长期行为服从$ (fpB, p(1-p)B^{2}) $的正态分布。而这面的这个随机过程正好服从该分布（期望/方差一致），因而可以近似等价为：
\[X_{t+1}-X_{t}=\{ \begin{aligned} &+\sqrt{p}B & w.p. & & (1+f\sqrt{p})/2 \\ &-\sqrt{p}B & w.p. & & (1-f\sqrt{p})/2 \end{aligned}\]我们再对这个初始条件按因子$ \sqrt{p}/B $做一下缩放：
\[X_{t+1}-X_{t}=\{ \begin{aligned} &+1 & w.p. & & (1+f\sqrt{p})/2 \\ &-1 & w.p. & & (1-f\sqrt{p})/2\end{aligned}\]这样缩放的好处，对后面推导有利。每次输赢为常量（f恒定, p恒定）。
2.2.2 推导阶段二
剩下的问题，其实就等价于随机过程中马尔可夫链的经典问题：《赌徒输光问题》。
$a_n$表示，从状态n开始要达到0的概率（表示矿池破产）。我们在第一步得到的条件，表示：$q=(1+f\sqrt{p})/2 $
这个随机过程可以表示为：
\[a_n=qa_{n+1}+(1-q)a_{n-1}\]可以用常系数齐次线性方程求解该多项式特征方程：
\[q\lambda^{2}-\lambda+(1-q)\]该方程的解为：
\[1, \frac{1-q}{q}\]整个特征方程，它的通解形式为：
\[a_n=A+B((1-q)/q)^{n}\]代入初始值（边界条件）：$a_0=1,a_{\infty}=0 $
即：A=0, B=1，得到$ a_n $：
\[a_n=(\frac{1-q}{q})^{n}=(\frac{1-f\sqrt{p}}{1+f\sqrt{p}})^{n} \approx exp(-2fn\sqrt{p})\]如果operator以一个R的话准备金启动，矿池的破产概率为：
\[\delta=a_{R/(\sqrt{p}B)} \approx exp(\frac{-2fR\sqrt{p}}{\sqrt{p}B}) = exp(\frac{-2fR}{B})\]相反地，为了维持一个破产概率最大为$ \delta $，矿池应至少保有准备金：
\[R=\frac{Bln(\frac{1}{\delta})}{2f}\]参考：
1.Analysis of Bitcoin Pooled Mining Reward Systems. Meni Rosenfeld
